Herleitung zugeordnete Legendre-Differentialgleichung über Produktansatz und Variablenseparation für Kugelflächenfunktionen

[Ambisonics-Buch, Seite 178-181, Gl (A.23)-(A.24), Appendix A.3.5-A3.6, Seite 67, Gl. (4.24)-(4.25)] Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten in 3D wird hier zur Definition von Kugelflächenfunktionen (spherical harmonics), den Kugeloberflächenharmonischen, verwendet und ergibt nach einem Produkt-Separationsansatz als einen Bestandteil die bekannte Gleichung für die Azimutharmonischen, und der dazu ergänzende Rest ergibt die zugeordnete Legendre-Differentialgleichung, die die Abhängigkeit der Kugelflächenfunktionen zum Zenitwinkel definiert. Wissen über die gesuchte polynomiale Form der Kugelflächenfunktionen (wenn es keine anderen Randbedingen im Winkel gibt) erleichert das Auffinden der zugeordneten Legendre-Funktionen aus einem nichtpolynomialen und polynomialen und Anteil. Für letzteren wird ein Potenzreihenansatz verwendet.