Mathematische Herleitungsvideos uvm.

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Wie schmal können ambisonische Panningfunktionen 1. Ordnung in 2D werden? Woraus bestehen ambisonische Panningfunktionen höherer Ordnung in 2D? Was war nochmal Steigung, Krümmung in Sachen 1D Differentialrechnung? Wie definiere ich Harmonische? Wie sehen Steigung, Krümmung, die Definition von Harmonischen in beliebigen karteischen Dimensionen aus? Wie in nichtkartesischen?
Minimierung der Quellbreite bei Ambisonics 1. Ordnung in 2D

[Ambisonics-Buch Seite 55, Kap.4.1, Gl.(4.3)] Video, das anhand einer parametrisierbaren Panningfunktion die schmalstmögliche Quellbreite in 1. Ordnung Ambisonics 2D demonsrtriert. Dazu wird die diskrete Definition des rE-Vektors kontinuierlich gemacht, integriert, und nach dem Formparameter abgeleitet. Sehr schmal wird das nicht...

Steigung und Krümmung in mehreren kartesischen Dimensionen, Definition von Harmonischen

[Ambisonics-Buch Seite 58, Kap.4.3, Gl.(4.7) - (4.8)] Die Steigung in mehr Dimensionen wird mit dem Gradienten (Nabla, oder Del auf Englisch) und seinen partiellen Ableitungen in jede Richtung beschriben, und die Summe der partiellen Krümmungen (2. Ableitungen) werden durch den Laplace-Operator beschrieben: Er wird verwendet um Harmonische in beliebig vielen kartesischen Dimensionen zu definieren.

Herleitung Laplaceoperator (Krümmung) in Polarkoordinaten

[Ambisonics-Buch Seite 171-175, Appendix A.1 - A.3.3] Die Krümmung in mehreren Dimensionen, hier 2D, ist bekannt als Summe der Krümmungen (2. partielle Ableitungen) in die kartesischen Richtungen, eine Operation, die man als Laplace-Operator bezeichnet. In krummlinigen, orthogonalen Koordinaten wie den Polarkoordinaten muss diese Krümmung erst umgerechnet werden. Unser Ziel ist damit, Harmonische im Polarwinkel zu definieren.

Orthogonale Harmonische im Azimut für 2D

[Ambisonics-Buch Seite 175-176, Gl.(A.10)-(A.12) Appendix A.3.4, Seite 58-59 Gl.(4.9)-(4.10), Kap.4.4] Diese Herleitung löst das Laplace'sche Eigenwertproblem für Funktionen im Azimut, wenn wir im Polarkoordinatensystem sind. Die resultierenden Funktionen sind die Ausdrücke einer Fourier-Reihe, und sie sind orthogonal, was bei der späteren Herleitung eindeutiger Transformationsintegrale hilft.

2D Zerlegungsintegral: Vorteil der Orthonormalität, Zerlegung einer Panning-Richtung Dirac-Deltaverteilung

[Ambisonics-Buch Seite 176-177, Gl.(A.12)-(A.17) Appendix A.3.4, Seite 59 Gl.(4.13)-(4.14), Kap.4.4] Das Laplace-Problem liefert z.B. in 2D Harmonische im Azimut, die orthogonal sind, werden sie zudem normiert und damit orthonormal, so lässt sich als Fehlerquadratminimierungsaufgabe jede Funktion mit einem Transformationsintegral zerlegen. Für Ambisonic-Panning ist wichtig, mit begrenzter Ordnung in möglichst punktförmige Richtungen zerlegen zu können, was anhand der Dirac-Deltaverteilung vorgezeigt wird. Sie ist noch nicht optimiert hinsichtlich ihres rE-Maßes.

2D max-rE Ambisonics-Panningfunktion

[Ambisonics-Buch Seite 177-178, Gl.(A.18)-(A.22) Appendix A.3.4, Seite 60 Gl.(4.15), Fig. 4.3, Kap.4.4] Durch Modifikation der unendlichen Fourier-Reihe zur Darstellung einer Dirac-Deltaverteilung im Winkel hin zu einer endlichen Reihe, der Zentrierung auf die Schwenkrichtung, und der Einfügung von Ordnungsgewichten (Fensterfunktion) gelingt es analytisch, eine optimal schmale 2D Ambisonics-Panningfunktion mit maximaler rE-Vektorlänge zu optimieren. Ein cos-Fenster, das in der nächst höheren Ordnung null wird ist die Lösung.

Herleitung Laplaceoperator (Krümmung) in Kugelkoordinaten

[Ambisonics-Buch Seite 171-175, Gl. (A.1)-(A.9), Appendix A.1-A.3.3, Seite 67, Kap. 4.6, Fig. 4.11, Gl.(4.24)] Der Laplace-Operator ergibt die gesamte Krümmung als Summe der Krümmungen in allen (2. partielle Ableitungen) kartesischen Dimensionen. In Kugelkoordinaten als krummlinige, orthogonale Koordinaten muss diese Krümmung erst umgerechnet werden. Der Berechnungsweg wird hier gezeigt.

Herleitung zugeordnete Legendre-Differentialgleichung über Produktansatz und Variablenseparation für Kugelflächenfunktionen

[Ambisonics-Buch, Seite 178-181, Gl (A.23)-(A.24), Appendix A.3.5-A3.6, Seite 67, Gl. (4.24)-(4.25)] Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten in 3D wird hier zur Definition von Kugelflächenfunktionen (spherical harmonics), den Kugeloberflächenharmonischen, verwendet und ergibt nach einem Produkt-Separationsansatz als einen Bestandteil die bekannte Gleichung für die Azimutharmonischen, und der dazu ergänzende Rest ergibt die zugeordnete Legendre-Differentialgleichung, die die Abhängigkeit der Kugelflächenfunktionen zum Zenitwinkel definiert. Wissen über die gesuchte polynomiale Form der Kugelflächenfunktionen (wenn es keine anderen Randbedingen im Winkel gibt) erleichert das Auffinden der zugeordneten Legendre-Funktionen aus einem nichtpolynomialen und polynomialen und Anteil. Für letzteren wird ein Potenzreihenansatz verwendet.